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文章阅读:伽罗瓦(转载)
[同主题阅读] [版面: 数学] [作者:xiphoid] , 2002年06月04日06:57:59
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发信人: xiphoid (食神), 信区: Mathematics
标  题: 伽罗瓦(转载)
发信站: The unknown SPACE (Tue Jun  4 06:58:16 2002), 站内信件

发信人: frontman (东方快枪手☆怒火中烧!), 信区: Science
标  题: 伽罗华
发信站: 北大未名站 (2002年06月04日16:54:17 星期二), 转信



    1832年5月30日清晨,在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人,过路的农民
从枪伤判断他是决斗后受了重伤,就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点,
这个可怜的年轻人离开了人世,数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后
来的一些著名数学家们说,他的死使数学的发展被推迟了几十年,他就是伽罗华。

天才的童年

    1811年10月25日,伽罗华出生于法国巴黎郊区的拉赖因堡。他的父亲是小镇镇长,
母亲受过良好的教育。12岁以前,伽罗华一直是在他母亲的教育下长大的,在这时期他
学习了希腊语、拉丁文和通常的算术课。

    1923年伽罗华离开双亲,考入巴黎的路易勒—格兰学院(皇家中学),开始接受正规
的教育。在第三年,他报名选学了一门数学课。老师深刻而生动的讲授,使伽罗华对数
学产生了浓厚的兴趣,他很快就学完了通常规定的课程,开始求学于数学大师的著作。

    由于伽罗华能领会和掌握大师们的数学思维方法,因此使他思路开阔,思维能力得
到了训练和提高。他的中学数学老师里查评价说“伽罗华只宜在数学的尖端领域工作”
。1829年3月还是一位中学生的伽罗华在《纯粹与应用数学年报》上发表了他的第一篇论
文——《周期连分数的一个定理的证明》。

    伽罗华曾两次投考巴黎综合工科学校未被录取。1829年7月2日,他父亲由于无法承
受牧师的攻击和诽谤,自杀了。这给了伽罗华很大的触动,他的思想开始倾向于共和主
义。同年10月25日,伽罗华被巴黎高等师范学校录取为预备生。

数学世界的顽强斗士

    19世纪初,有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们,而如何求解高次方程就是
其中之一。

    历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程
,我国在公元七世纪,也已经得到了一般的近似解法,这在唐朝数学家王孝通所编的《
缉古算经》就有叙述。到了十三世纪,宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》的“
正负开方术”里,充分研究了数字高次方程的求正根法,也就是说,  九韶那时候 已得
到了高次方程的一般解法。

    在西方,直到十六世纪初的文艺复兴时期,才由意大利的数学家发现一元三次方程
解的公式——卡当公式。

    在数学史上,相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的
数学家卡尔达诺(1501~1576)骗到了这个三次方程的解的公式,并发表在自己的著作里
。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式),其实,它应该叫塔塔
里亚公式。

    三次方程被解出来后,一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522~1560)解出
。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的
是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力,但一直持续了长达三个多世纪,都没
有解决。法国数学家拉格朗日更是称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。

    1770年,拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后,提出了方
程的预解式概念,并且还进一步看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性
有关,这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。此后,挪威数学家阿贝
尔利用置换群的理论,给出了高于四次的一般代数方程 不存在代数解的证明。

    在前人研究成果的基础上,伽罗华提出了群的概念,彻底解决了高次方程是否存在
代数解的问题。他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想,即把预解式的构成同
置换群联系起来,并在阿贝尔研究的基础上,进一步发展了他的思想,把全部问题转化
或归结为置换群及其子群结构的分析。

    1829年,伽罗华在他中学最后一年快要结束时,把关于群论初步研究结果的论文提
交给法国科学院,科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在1
830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。他
在一封信中写道:“今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的工作报告……但
因病在家,我很遗憾未能出席今天的会议,希望你安排我参加下次会议,讨论已指明的
议题。”然而,第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时,并未介绍伽罗华的著
作 ,这是一个非常微妙的“事故”。

    1830年2月,伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了,以参加科学院的
数学大奖评选,希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶,但傅立叶在当年5
月去世了,在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样,伽罗华递交的两次数学论文
都被遗失了。

    1831年1月,伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上,又得到一个结论,他写成
论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作,当时负责审查的数学
家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁。传说泊阿松将这篇论文看了四个月,最后结论居然
是“完全不能理解”。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明
的论断是正确的,但最后他还是建议科学院否定它。

    对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗华。虽然他的论文一再被丢失,得不到应有的
支持,但他并没有灰心,他坚持他的科研成果,不仅一次又一次地想办法传播出去,还
进一步向更广的领域探索。

天才的陨落

    伽罗华诞生在拿破仑帝国时代,经历了波旁王朝的复辟时期,又赶上路易·腓力浦
朝代初期,他是当时最先进的革命政治集团——共和党的成员。这时法国激烈的政治斗
争吸收了年轻热情的伽罗华。他反对学校的苛刻校规,抨击校长在七月政变中的两面行
为,以至于1830年2月被开除。之后,他进一步积极参加政治活动,第二年6月,伽罗华
以“企图暗杀国王”的罪名被捕。由于警方没有证据,不久即被释放。7月,被反动王朝
视为危险分子的伽罗华再次被抓。他在狱中曾遭暗枪射击,幸未击中。1831年4月伽罗华
被释放出狱。

    出狱后不久,年轻气盛的伽罗华为了一个舞女,卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉
”的决斗。伽罗华非常清楚对手的枪法很好,自己难以摆脱死亡的命运,所以连夜给朋
友写信,仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出,并附以论文手稿。

    他不时的中断,在纸边空白处写上“我没有时间,我没有时间”,然后又接着写下
一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西,为一个折磨了数学家
们几个世纪的问题找到了真正的答案,并且开创了数学的一片新的天地。

    伽罗华对自己的成果充满自信,他在给朋友舍瓦利叶的信中说:“我在分析方面做
出了一些新发现。有些是关于方程论的;有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或
高斯,不是对这些定理的正确性,而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人
发现,这些对于消除所有有关的混乱是有益的。”

    第二天上午,在决斗场上,伽罗华被打穿了肠子。死之前,他对在他身边哭泣的弟
弟说:“不要哭,我需要足够的勇气在20岁的时候死去。”他被埋葬在公墓的普通壕沟
内,所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。他不朽的纪念碑就是他的著作,由两篇被拒绝的
论文和他在死前那个不眠之夜写下的 什菔 稿组成。

    历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨遭的爱情事件的结局,还是出于政治动机
造成的,但无论是哪一种,一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了,他研究数
学才只有5年。

群论——跨越时代的创造

    伽罗华死后,按照他的遗愿,舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文
手稿过了14年,也就是1846年,才由法国数学家刘维尔(1809~1882)领悟到这些演算中
迸发出的天才思想,他花了几个月的时间试图解释它的意义。刘维尔最后他将这些论文
编辑发表在他的极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上 ,并向数学界推荐。1870年法国
数学家约当根据伽罗华的思想,写了《论置换与代数方程》一书,在这本书里伽罗华的
思想得到了进一步的阐述。

    伽罗华的最主要成就是提出了群的概念,用群论彻底解决了根式求解代数方程的问
题,而且由此发展了一整套关于群和域的理论,为了纪念他,人们称之为伽罗华理论。

    这个理论的大意是:每个方程对应于一个域,即含有方程全部根的域,称为这方程
的伽罗华域,这个域对应一个群,即这个方程根的置换群,称为这方程的伽罗华群。伽
罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系;当且仅当一个方程的伽罗华群是可解
群时,这方程是根式可解的。

    作为这个理论的推论,可以得出五次以上一般代数方程根式不可解,以及用圆规、
直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。

    伽罗华理论对近代数学的发展产生了深远影响,它已渗透到数学的很多分支中。此
外,伽罗华还研究过所谓“伽罗华虚数”,即有限域的元素,因此又称有限域为伽罗华
域。

    对伽罗华来说,他所提出并为之坚持的理论是一场对权威、对时代的挑战,他的“
群”完全超越了当时数学界能理解的观念。也许正是由于年轻,他才敢于并能够以崭新
的方式去思考,去描述他的数学世界。也正因如此,他才受到了冷遇。

    在这里,我们后人感受到的是一种孤独与悲哀,一种来自智慧的孤独与悲哀。但是
,历史的曲折并不能埋没真理的光辉。今天由伽罗华开始的群论,不仅对近代数学的各
个方向,而且对物理学、化学的许多分支都产生了重大的影响。
 


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我不怕行动失败,我只怕没有行动。
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秋风清,秋月明。
落叶聚还散,寒鸦栖复惊。
相识相见知何日,此时此夜难为情。

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