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研究偏微分方程的意义何在?
[版面:数学][首篇作者:dnls] , 2016年09月24日23:23:40 ,3700次阅读,9次回复
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dnls
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发信人: dnls (trump u 发考题), 信区: Mathematics
标  题: 研究偏微分方程的意义何在?
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Sep 24 23:23:40 2016, 美东)

本人跟着导师弄了大概一年半的某个非线性偏微分方程,当然知道方程本身有物理意义
。现阶段的研究都集中在初值属于某个索博列夫空间的柯西问题。问题是,相比较于对
该方程的数值模拟,搞清楚了这样的初值问题是否能加深对方程本身物理意义的理解?
--
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brok
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发信人: brok (琥珀川是一首没有词的歌), 信区: Mathematics
标  题: Re: 研究偏微分方程的意义何在?
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Sep 25 11:59:23 2016, 美东)

因为不了解你具体是哪个方程,所以只能笼统的回答一下

数值模拟绝不是万能的,有些人觉得数值模拟很简单,跑个blackbox就行了,但是数值
方法是有误差的。如果不了解方程解的性质就随便抓个数值算法来,结果往往轻则一无
所获,重则被误导得到错误的结论。举一些例子:

解是否有守恒量?某个泛函是否有单调性?有没有coarse grain limit?如果数值算法
不是特别设计考虑到这些,数值结果还能相信吗?

shock会不会形成?形成以后的解在什么意义下是想要的解?如何能保证数值算法给的就
是这个解?

会不会有湍流,解会不会随时间越来rough,in what norm?如果光滑性越来越差,数值
discretization不够了如何解决?

如果有metastability,有Arnold diffusion (比如NLS就有这个),指数时间之后解才会
变成另一个形式,这个计算时间如何能够afford?

如果是非线性SPDE,噪音discretize了以后得到了数值解,可是真正的SPDE根本没有st
rong sense solution,怎么办?

所以,即便"仅仅"是做个数值模拟,也需要通过分析等手段了解方程的性质,之后才能
对症下药设计数值方法。更何况,很多性质数值解是无法得到的,比如一个方程,跑了
99个
initial value simulation,都观察到了A,但是就能说A是解的一个性质吗?又取了一
个measure 0的initial condition,结果A没有了,那么A是一个almost surely的性质吗?

供你参考。不是说一定要相信导师,独立思考是好事,但是有不懂的建议先和导师沟通
。一般导师选题目还是有他的道理的


【 在 dnls (trump u 发考题) 的大作中提到: 】
: 本人跟着导师弄了大概一年半的某个非线性偏微分方程,当然知道方程本身有物理意义
: 。现阶段的研究都集中在初值属于某个索博列夫空间的柯西问题。问题是,相比较于对
: 该方程的数值模拟,搞清楚了这样的初值问题是否能加深对方程本身物理意义的理解?


--
Just remember, in the winter,
Far beneath the bitter snows,
Lies the seed that with the sun's love,
In the spring, becomes the rose.



※ 修改:·brok 于 Sep 25 12:11:07 2016 修改本文·[FROM: 73.]
※ 来源:·BBS 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 73.]





 
nonpareil
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发信人: nonpareil (一失足成千古恨,再回头已百年身), 信区: Mathematics
标  题: Re: 研究偏微分方程的意义何在?
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Sep 25 13:34:12 2016, 美东)

你说的很对。我补充一点儿。

有时候对于一个方程,如果没有详尽的理论分析,大家基于直觉的理解很可能是错的。
然后做数值模拟的人,依据这些错误的直觉理解,设计了一些似是而非的算法,通过
各种似是而非的手段,强迫那些数值模拟来“验证”那些基于直觉的理解。这就是错上
加错啊。

我认为,没有理论上的分析和证明,对于一个方程的任何数值模拟结果,都应该存疑。




【 在 brok (琥珀川是一首没有词的歌) 的大作中提到: 】
: 因为不了解你具体是哪个方程,所以只能笼统的回答一下
: 数值模拟绝不是万能的,有些人觉得数值模拟很简单,跑个blackbox就行了,但是数值
: 方法是有误差的。如果不了解方程解的性质就随便抓个数值算法来,结果往往轻则一无
: 所获,重则被误导得到错误的结论。举一些例子:
: 解是否有守恒量?某个泛函是否有单调性?有没有coarse grain limit?如果数值算法
: 不是特别设计考虑到这些,数值结果还能相信吗?
: shock会不会形成?形成以后的解在什么意义下是想要的解?如何能保证数值算法给
的就
: 是这个解?
: 会不会有湍流,解会不会随时间越来rough,in what norm?如果光滑性越来越差,
数值
: discretization不够了如何解决?
: ...................



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dnls
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发信人: dnls (trump u 发考题), 信区: Mathematics
标  题: Re: 研究偏微分方程的意义何在?
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Sep 25 15:42:21 2016, 美东)

受教,在此拜谢。很多名词术语都不知道,看来确实入行时间太短学习不够。能否另外
请教一个专门的问题,初值或边值属于索伯列夫空间 W^{k,p},在物理上的意义是什么
?改变 k, p,提升正则性,数学上的意义明显,是否具有物理意义?
【 在 brok (琥珀川是一首没有词的歌) 的大作中提到: 】
: 因为不了解你具体是哪个方程,所以只能笼统的回答一下
: 数值模拟绝不是万能的,有些人觉得数值模拟很简单,跑个blackbox就行了,但是数值
: 方法是有误差的。如果不了解方程解的性质就随便抓个数值算法来,结果往往轻则一无
: 所获,重则被误导得到错误的结论。举一些例子:
: 解是否有守恒量?某个泛函是否有单调性?有没有coarse grain limit?如果数值算法
: 不是特别设计考虑到这些,数值结果还能相信吗?
: shock会不会形成?形成以后的解在什么意义下是想要的解?如何能保证数值算法给
的就
: 是这个解?
: 会不会有湍流,解会不会随时间越来rough,in what norm?如果光滑性越来越差,
数值
: discretization不够了如何解决?
: ...................



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dongliang
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发信人: dongliang (哈哈), 信区: Mathematics
标  题: Re: 研究偏微分方程的意义何在?
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Sep 26 20:23:17 2016, 美东)

看来版上还是有懂学术的牛人啊。
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guvest
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发信人: guvest (我爱你老婆Anna), 信区: Mathematics
标  题: Re: 研究偏微分方程的意义何在?
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Sep 30 13:02:54 2016, 美东)



数值计算牵涉金钱利益巨大。不是你想的那么简单。
理论是计算prjoect的一部分。而不是说计算从属于理论。


【 在 dnls (trump u 发考题) 的大作中提到: 】
: 本人跟着导师弄了大概一年半的某个非线性偏微分方程,当然知道方程本身有物理意义
: 。现阶段的研究都集中在初值属于某个索博列夫空间的柯西问题。问题是,相比较于对
: 该方程的数值模拟,搞清楚了这样的初值问题是否能加深对方程本身物理意义的理解?





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※ 修改:·guvest 於 Sep 30 15:49:00 2016 修改本文·[FROM: 192.]
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guvest
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发信人: guvest (我爱你老婆Anna), 信区: Mathematics
标  题: Re: 研究偏微分方程的意义何在?
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Sep 30 13:04:06 2016, 美东)

algorithm 市场证明了就可以。不需要考虑理论。
简单说,赚钱就行。赚了钱,自然有做理论的人去研究为什么。
【 在 nonpareil (一失足成千古恨,再回头已百年身) 的大作中提到: 】
: 你说的很对。我补充一点儿。
: 有时候对于一个方程,如果没有详尽的理论分析,大家基于直觉的理解很可能是错的。
: 然后做数值模拟的人,依据这些错误的直觉理解,设计了一些似是而非的算法,通过
: 各种似是而非的手段,强迫那些数值模拟来“验证”那些基于直觉的理解。这就是错上
: 加错啊。
: 我认为,没有理论上的分析和证明,对于一个方程的任何数值模拟结果,都应该存疑。
: 的就
: 数值




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※ 修改:·guvest 於 Sep 30 13:04:21 2016 修改本文·[FROM: 192.]
※ 来源:·WWW 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 192.]

 
wxza
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发信人: wxza (wxza), 信区: Mathematics
标  题: Re: 研究偏微分方程的意义何在?
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct  7 13:18:30 2016, 美东)

流体方程的解的存在性证明了吗?没有解的存在性, 可是没关系,潜艇下海了,飞机
也上天了 。。。

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※ 修改:·wxza 於 Oct  7 13:19:45 2016 修改本文·[FROM: 4.]
※ 来源:·WWW 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 4.]

 
heteroclinic
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发信人: heteroclinic (asymptotically stable), 信区: Mathematics
标  题: Re: 研究偏微分方程的意义何在?
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct  7 20:12:50 2016, 美东)

计算不也是基于稳定性分析,spetral radius这些东西分析来的吗?
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※ 来源:·WWW 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 47.]

 
aatt
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发信人: aatt (随机矩阵), 信区: Mathematics
标  题: Re: 研究偏微分方程的意义何在?
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Jun 11 00:23:15 2017, 美东)

当偏微分方程进入光滑性的研究之后,离物理实际就越来越远。冯康就是避开了偏微分
方程的初值问题,而直接考虑更加贴近物理的变分形式,才做出了有限元的伟大工作,
并及时地解决了当时中国最大的刘家峡水坝的应力分析问题(1964)。冯康说他的数学
工作都是从实际中来的。
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※ 修改:·aatt 於 Jun 11 00:25:06 2017 修改本文·[FROM: 68.]
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