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一个简单偏微问题,老夫有点困惑
[版面:数学][首篇作者:oldwillow] , 2017年12月26日06:49:50 ,1839次阅读,20次回复
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oldwillow
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发信人: oldwillow (老柳树), 信区: Mathematics
标  题: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Dec 26 06:49:50 2017, 美东)

PDE
  ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x
   ( 原帖: ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u  )

在我的初始条件下的解是
   z = - x(1+u) + u        (1)
From (1) we have
   ∂u(x=0,z)/∂z = 1       
   ∂u(x,z=0)/∂x = (1+u)^2
     also = 1/(1-x)^2 because u(x,0) = x/(1-x), i.e. 1+u(x,0)=1/(1-x)     
     (原帖: ∂x(1,u)/∂u = 1/(1+u) - u/(1+u)^2 =1/(1+u)^2)

显然
   ∂u(x=0,z)/∂z ≠ 1/(1+u)*∂u(x,z=0)/∂x 
i.e.  1 ≠ (1+u) 
  or  1 ≠ 1/(1-x)
矛盾了!

(原帖: ∂z(0,u)/∂u ≠ (1+u)*∂x(0,u)/∂u 我觉得这个式子
更少一些confusing,这也是我原帖用
  ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u的原因
)

--
※ 修改:·oldwillow 於 Dec 26 20:49:22 2017 修改本文·[FROM: 2.]
※ 来源:·WWW 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 2.]

 
TheMatrix
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Dec 26 16:02:34 2017, 美东)

你这个问题比较tricky,错误在后半段。前半段的解(1)是对的。

这种方程的定义本身就是很tricky的,我感觉在数学中是不常见的,应该是在经济学金
融之类的领域出现。它tricky的地方在于z依赖于x和u,而x又依赖于z和u,这里有循环
依赖的问题。数学中偏微分方程的定义一般没有这样的,都是自变量和函数变量清晰分
离的。

你这个问题实际上是求解一个(x,u,z)空间的一个曲面。从你的解(1)来看也是这样--一
个关于(x,u,z)关系的方程,或者说是(x,u,z)三个变量不能自由变化的一个constraint
,这就是(x,u,z)空间中的曲面。你验证的时候也要考虑这个限定。比如你做∂z(
0,u)/∂u的时候,你是设定x=0,而在一个曲面上(x=0,u=u)就完全决定了曲面上
的点,也就是说你z也已经定下来了:z=u。所以你再计算∂x(0,u)/∂u的时
候,你用的是(z=0,u=u),这和前面那个不是曲面上的同一个点。你应该用(z=u,u=u)来
算就没矛盾了。



【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: PDE
:   ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u
: (通常写成∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x    )
: 在我的初始条件下的解是
:    z = - x(1+u) + u                       (1)
: From (1) we have
:    ∂z(0,u)/∂u = 1
:    ∂x(0,u)/∂u = 1/(1+u) – u/(1+u)2, because x(0,u) = u/(1+u)
: 显然 ∂z(0,u)/∂u ≠ (1+u)*∂x(0,u)/∂u
: 矛盾了!



--
※ 来源:·WWW 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 2601:196:4701:5]

 
watermajia
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发信人: watermajia (昵称为空), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Dec 26 17:34:08 2017, 美东)

在这个方程 ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x 下,u是x和z的函数,
并且(1)是这个方程的解。

∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u 并不与这个方程等价。除此之外,你
的计算也有错误(即便计算没有错误,这两个方程也不等价,所以不必试图修复计算错
误)


【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: PDE
:   ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u
: (通常写成∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x    )
: 在我的初始条件下的解是
:    z = - x(1+u) + u                       (1)
: From (1) we have
:    ∂z(0,u)/∂u = 1
:    ∂x(0,u)/∂u = 1/(1+u) – u/(1+u)2, because x(0,u) = u/(1+u)
: 显然 ∂z(0,u)/∂u ≠ (1+u)*∂x(0,u)/∂u
: 矛盾了!




--
※ 修改:·watermajia 於 Dec 26 17:34:35 2017 修改本文·[FROM: 148.]
※ 来源:·WWW 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 148.]

 
TheMatrix
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Dec 26 18:13:16 2017, 美东)

你说的对。这两个方程从意义上看差很远。原方程的意义清楚,而他变换之后意义很
tricky。不过他给出的解确实满足远程,也满足变换之后的方程。我再想想为什么。

【 在 watermajia (昵称为空) 的大作中提到: 】
: 在这个方程 ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x 下,u是x和z的函数,
: 并且(1)是这个方程的解。
: ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u 并不与这个方程等价。除此之外,你
: 的计算也有错误(即便计算没有错误,这两个方程也不等价,所以不必试图修复计算错
: 误)



--
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Dec 26 18:50:17 2017, 美东)

你是对的。原方程意义清楚,他变换之后的方程即使能解释也会很费劲,没这个必要了
。而且用原方程后他后面的问题可能都不存在了。

【 在 watermajia (昵称为空) 的大作中提到: 】
: 在这个方程 ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x 下,u是x和z的函数,
: 并且(1)是这个方程的解。
: ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u 并不与这个方程等价。除此之外,你
: 的计算也有错误(即便计算没有错误,这两个方程也不等价,所以不必试图修复计算错
: 误)



--
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Dec 26 18:54:44 2017, 美东)

你按照watermajia说的,把你自作主张的变换的方程扔掉,用原方程,你后面的问题就
不存在了。哈哈。

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: PDE
:   ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u
: (通常写成∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x    )
: 在我的初始条件下的解是
:    z = - x(1+u) + u                       (1)
: From (1) we have
:    ∂z(0,u)/∂u = 1
:    ∂x(0,u)/∂u = 1/(1+u) – u/(1+u)2, because x(0,u) = u/(1+u)
: 显然 ∂z(0,u)/∂u ≠ (1+u)*∂x(0,u)/∂u
: 矛盾了!



--
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发信人: oldwillow (老柳树), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Dec 26 20:24:37 2017, 美东)

我把原问题改成了对原PDE提问了(请看楼主贴)。

可能问题在这,应该写成是
  ∂u(0,0)/∂z = 1/(1+u)*∂u(0,0)/∂x
rather than
  ∂u(0,z)/∂z ≠ 1/(1+u)*∂u(x,0)/∂x

但问题是,为什么会有
  ∂z(0,u)/∂u ≠ (1+u)*∂x(0,u)/∂u
(线性的方程就没有这个问题)

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 你按照watermajia说的,把你自作主张的变换的方程扔掉,用原方程,你后面的问题就
: 不存在了。哈哈。
--
※ 修改:·oldwillow 於 Jan  3 04:07:57 2018 修改本文·[FROM: 2a02:c7d:3b94:68]
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Dec 26 20:49:34 2017, 美东)

你用了原方程之后你后面验证的错误就看得很清楚了:你∂u(x=0,z)/∂z用
的是(x=0,z=z),而另一边∂u(x,z=0)/∂x用的是(x=x,z=0),根本就不是同
一个点,等式两边怎么可能相等呢?这就是为什么你用了原方程,你困惑的问题本身就
不存在了。

不过这个错误犯一下想清楚了也有好处。我就在一些书上见过你变换过的那种方程,确
实很confusing,但是也不是不可以make sense。

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: PDE
:   ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x
:    ( 原帖: ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u  )
: 在我的初始条件下的解是
:    z = - x(1+u) + u        (1)
: From (1) we have
:    ∂u(x=0,z)/∂z = 1       
:    ∂u(x,z=0)/∂x = (1+u)^2
:      also = 1/(1-x)^2 because u(x,0) = x/(1-x), i.e. 1+u(x,0)=1/(1-x)     
:      (原帖: ∂x(1,u)/∂u = 1/(1+u) - u/(1+u)^2 =1/(1+u)^2)
: ...................



--
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Dec 26 21:00:07 2017, 美东)

: 可能问题在这,应该写成是
:   ∂u(0,0)/∂z = 1/(1+u)*∂u(0,0)/∂x

这是对的。验证这个方程要逐点验证,等式两边必须是对同一个点。

: 但问题是,为什么会有
:   ∂z(0,u)/∂u ≠ (1+u)*∂x(0,u)/∂u
: (线性的方程就没有这个问题)

你这个问题我第一个贴已经回答了。要点是验证这个方程要逐点验证,等式两边必须是
对同一个点。你左边∂z(0,u)/∂u是在(x=0,u=u)点,右边(1+u)*∂x(
0,u)/∂u是在(z=0,u=u)点,这两个不是同一个点。

:   ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u
: 和
:   ∂u/∂z = 1/(1+u)* ∂u/∂x 
: ...................

这两个写法意义差别很大。原方程那个是自变量,哪个是函数变量,很清楚。你变换之
后自变量和函数变量的分离不清楚了。很难make sense。

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: 我把原问题改成了对原PDE提问了(请看楼主贴)。

: 可能问题在这,应该写成是
:   ∂u(0,0)/∂z = 1/(1+u)*∂u(0,0)/∂x
: 但问题是,为什么会有
:   ∂z(0,u)/∂u ≠ (1+u)*∂x(0,u)/∂u
: (线性的方程就没有这个问题)
:   ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u
: 和
:   ∂u/∂z = 1/(1+u)* ∂u/∂x 
: ...................



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oldwillow
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发信人: oldwillow (老柳树), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Dec 27 08:27:09 2017, 美东)

谢谢解惑,老夫收益非浅,我想看众也多会有人受益。

但为什么线性方程,

   ∂z(x=0,u)/∂u = c*∂x(z=0,u)/∂u           (2)

就没有这个问题(我验证过)。 左边是一个关于u的函数而右边也是一个u的函数(在(
0,0)点上 z(x=0,u) 和 x(z=0,u) 有相同的变化规律)。线性情况下,上式永远成立,
而非线性的永远不成立,除非边界条件特殊。难道这是线性和非线性的区别?进一步,
(2) 似乎是在说,线性情况下,∂z/∂u 和 ∂x/∂u是一回事,
这意味着什么?想不清楚。

Further more, 局部上,非线性PDE可被线性PDE描述(u很小,f=(1+u)=1), 那么, ...
脑子很乱,再想想

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 这是对的。验证这个方程要逐点验证,等式两边必须是对同一个点。
: 你这个问题我第一个贴已经回答了。要点是验证这个方程要逐点验证,等式两边必须是
: 对同一个点。你左边∂z(0,u)/∂u是在(x=0,u=u)点,右边(1+u)*∂
x(
: 0,u)/∂u是在(z=0,u=u)点,这两个不是同一个点。
: 这两个写法意义差别很大。原方程那个是自变量,哪个是函数变量,很清楚。你变换之
: 后自变量和函数变量的分离不清楚了。很难make sense。



--
※ 修改:·oldwillow 於 Dec 27 08:39:10 2017 修改本文·[FROM: 2.]
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Dec 27 09:54:04 2017, 美东)

嗯,挺好。你这个问题不是很清楚,我回答不了。但是有问题挺好,甚至有困惑而提不
出合适的问题也挺好。慢慢想吧。

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: 谢谢解惑,老夫收益非浅,我想看众也多会有人受益。
: 但为什么线性方程,
:    ∂z(x=0,u)/∂u = c*∂x(z=0,u)/∂u           (2)
: 就没有这个问题(我验证过)。 左边是一个关于u的函数而右边也是一个u的函数(
在(
: 0,0)点上 z(x=0,u) 和 x(z=0,u) 有相同的变化规律)。线性情况下,上式永远成立,
: 而非线性的永远不成立,除非边界条件特殊。难道这是线性和非线性的区别?进一步,
: (2) 似乎是在说,线性情况下,∂z/∂u 和 ∂x/∂u是一回事,
: 这意味着什么?想不清楚。
: Further more, 局部上,非线性PDE可被线性PDE描述(u很小,f=(1+u)=1), 那么, .
..
:  脑子很乱,再想想
: ...................



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发信人: oldwillow (老柳树), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Dec 30 07:41:09 2017, 美东)

我是这样理解的。

假设 u=c0 + c1*x, + c2*z + c3*x^2 + c4*z^2 +...
or    z=c0 + c2*u +a2*x + ...
or    x=c0 + c1*u +b2*z +...
我们不妨设c0=0, i.e.
       u= c1*x, + c2*z + c3*x^2 + c4*z^2 +...   (1)
or    z= c2*u +a2*x +a3*x^2 +d*u^2+ ...       (2)
or    x= c1*u +b2*z +b3*x^2 +e*u^2+ ...       (3)

不失一般性在零点(0,0), 下面的方程仅仅要求 c1=c2  -- 由(1)
   ∂u(0,0)/∂z = 1/(1+u)*∂u(0,0)/∂x          (4)

  ∂z(x=0,u)/∂u = (1+u)*∂x(z=0,u)/∂u      (5)
除了c1=c2,还要求,d=e  等等。
总而言之,(5) 更强,满足(4)不一定满足(5) . 这是一个很有意思的observation. 因
为同样一个物理问题有时候需要更强的方程,比如在multi-valued的情况。我再想想。
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 你说的对。这两个方程从意义上看差很远。原方程的意义清楚,而他变换之后意义很
: tricky。不过他给出的解确实满足远程,也满足变换之后的方程。我再想想为什么。




--
※ 修改:·oldwillow 於 Dec 30 21:20:36 2017 修改本文·[FROM: 2a02:c7d:3b94:68]
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Dec 30 09:57:43 2017, 美东)

(5)是怎么来的?是因为你没想清楚而来的,原方程并没有这个要求。另外泰勒展开也
不完整,少了交叉相乘的项。

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: 我是这样理解的。
: 假设 u=c0 + c1*x, + c2*z + c3*x^2 + c4*z^2 +...
: or    z=c0 + c2*u +a2*x + ...
: or    x=c0 + c1*u +b2*z +...
: 我们不妨设c0=0, i.e.
:        u= c1*x, + c2*z + c3*x^2 + c4*z^2 +...   (1)
: or    z= c2*u +a2*x +a3*x^2 +d*u^2+ ...       (2)
: or    x= c1*u +b2*z +b3*x^2 +e*u^2+ ...       (3)
: 不失一般性在零点(0,0), 下面的方程仅仅要求 c1=c2  -- 由(1)
:    ∂u(0,0)/∂z = 1/(1+u)*∂u(0,0)/∂x          (4)
: ...................



--
※ 来源:·WWW 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 2601:196:4701:5]

 
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发信人: oldwillow (老柳树), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Dec 30 12:46:19 2017, 美东)


": (5)是怎么来的?"
我是想说(4) and (5)  are not exactly equivalent.

": 不完整,少了交叉相乘的项。"
省略了(后面有省略号)



【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: (5)是怎么来的?是因为你没想清楚而来的,原方程并没有这个要求。另外泰勒展开也
: 不完整,少了交叉相乘的项。




--
※ 修改:·oldwillow 於 Dec 30 12:48:43 2017 修改本文·[FROM: 2a02:c7d:3b94:68]
※ 来源:·WWW 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 2a02:c7d:3b94:6]

 
oldwillow
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发信人: oldwillow (老柳树), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Dec 31 09:21:20 2017, 美东)

"要点是验证这个方程要逐点验证,等式两边必须是对同一个点。"

这个问题涉及到 how to interpret
∂u(x,z)/∂z = ∂u(x,z)/∂x

Consider Δx = Δz = Δ. 固定x, ∂u(x,z)/∂z 是 Δ 的函数, F(Δ).
Similarly, ∂u(x,z)/∂x 也是 Δ 的函数 G(Δ)

所以,∂u/∂z = ∂u/∂x 定义了一个一元函数关系,而不是0
元函数(一个点)

举例说明,如果u(x,z)is 方程 ∂u(x,z)/∂z = ∂u(x,z/∂x
的解,那末有,
u'(0,Δ)=  u'(Δ,0) 这是曲线



【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 这是对的。验证这个方程要逐点验证,等式两边必须是对同一个点。
: 你这个问题我第一个贴已经回答了。要点是验证这个方程要逐点验证,等式两边必须是
: 对同一个点。你左边∂z(0,u)/∂u是在(x=0,u=u)点,右边(1+u)*∂
x(
: 0,u)/∂u是在(z=0,u=u)点,这两个不是同一个点。
: 这两个写法意义差别很大。原方程那个是自变量,哪个是函数变量,很清楚。你变换之
: 后自变量和函数变量的分离不清楚了。很难make sense。
--
※ 修改:·oldwillow 於 Jan  3 04:07:19 2018 修改本文·[FROM: 2a02:c7d:3b94:68]
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Dec 31 23:49:05 2017, 美东)

你这有点乱啊。你这个∂u(x,z)/∂z = ∂u(x,z)/∂x是从哪来
的?

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: "要点是验证这个方程要逐点验证,等式两边必须是对同一个点。"
: 这个问题涉及到 how to interpret
: ∂u(x,z)/∂z = ∂u(x,z)/∂x
: Consider Δx = Δz = Δ. 固定x, ∂u(x,z)/∂z 是 Δ 的函数, F(Δ)
.
: Similarly, ∂u(x,z)/∂x 也是 Δ 的函数 G(Δ)

: 所以,∂u/∂z = ∂u/∂x 定义了一个一元函数关系,而不是
0
: 元函数(一个点)
: 举例说明,如果u(x,z)is 方程 ∂u(x,z)/∂z = ∂u(x,z/∂
x
: 的解,那末有,
: ...................





--
※ 修改:·TheMatrix 於 Dec 31 23:58:03 2017 修改本文·[FROM: 50.]
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发信人: oldwillow (老柳树), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Jan  1 07:04:53 2018, 美东)

我省略了(1+u), 以为对问题的本质不重要。现重写如下。

方程 ∂u(x,z)/∂z = 1/(1+u(x,z))*∂u(x,z/∂x 定义了一条
曲线,即
   u'(0,Δ)= 1/(1+u(Δ,0)) * u'(Δ,0)     -- 简单起见这里考虑(0,0)点
where ∂u(x,z)/∂z = 1/(1+u(x,z))*∂u(x,z)/∂x is the
detailed description of
   ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x

总而言之,我还是觉得
    ∂u(0,0)/∂z = 1/(1+u)*∂u(0,0)/∂x       (4)

    ∂z(0,u)/∂u = (1+u)*∂x(0,u)/∂u           (5)
是等价的, where, of course, the interpretation of (4) is 
   ∂u(0,z)/∂z = 1/(1+u)*∂u(0,x)/∂x
with z and x being to zero.
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 你这有点乱啊。你这个∂u(x,z)/∂z = ∂u(x,z)/∂x是从哪来
: 的?
: .
: 0
: x



--
※ 修改:·oldwillow 於 Jan  1 07:48:07 2018 修改本文·[FROM: 2.]
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Jan  1 10:11:37 2018, 美东)

方程
∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x
的一个解是
z = - x(1+u) + u
这是(z,x,u)空间中的一个曲面。

写到这里,事情还没清楚吗?

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: 我省略了(1+u), 以为对问题的本质不重要。现重写如下。
: 方程 ∂u(x,z)/∂z = 1/(1+u(x,z))*∂u(x,z/∂x 定义了一条
: 曲线,即
:    u'(0,Δ)= 1/(1+u(Δ,0)) * u'(Δ,0)     -- 简单起见这里考虑(0,0)点
: where ∂u(x,z)/∂z = 1/(1+u(x,z))*∂u(x,z)/∂x is the
: detailed description of
:    ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x
: 总而言之,我还是觉得
:     ∂u(0,0)/∂z = 1/(1+u)*∂u(0,0)/∂x       (4)
: 和
: ...................




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※ 修改:·TheMatrix 於 Jan  1 11:13:53 2018 修改本文·[FROM: 50.]
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发信人: oldwillow (老柳树), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Jan  2 09:15:54 2018, 美东)

不才试解惑如下。
(i)  ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x         (4)
     ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u            (5)
是等价的。理由如下。
Generally, (4) 的通解是
   z = - x*f + C(u),   where f=(1+u), C(u) is u 的任意函数.
可以很容易的验证,这也是(5) 的通解:
  C' - x*f' = f * (C' - x * f')/f
~~~~~       ~~~~~~~~~~~~
      \                      \
    ∂z/∂u              f*∂x/∂u
其实由
   ∂u(x,z)/∂z = 1/∂z(x,u)/∂u (x is constant) 和
   ∂u(x,z)/∂x = 1/∂x(z,u)/∂u (z is constant)
可得(4) 和(5)是一回事。

(ii)    ∂u(x=0,z)/∂z ≠ 1/(1+u)*∂u(x,z=0)/∂x  ?
解释如下。
∂u(x=0, z)/∂z 是一个一元函数, 由 u'(0,Δ) := h(Δ) 所确定。注
意自变量用什么符号无所谓, 这里用Δ。
Similarly,
∂u(x, z=0)/∂x 是一个一元函数,由 u'(Δ,0) := g(Δ) 所确定。

h(Δ) 和 1/(1+u(Δ,0))*g(Δ), i.e.
  ∂u(0,z)/∂z  和  1/(1+u(x,0))*∂u(x,0)/∂x
只在下列条件之一相等:
(a) f(u) 是一个常数,就是说,对线性的PDE 我们有
   ∂u(x=0,z)/∂z = C*∂u(x,z=0)/∂x
直观的解释就是u在latitude方向上的函数, i.e. u(x,0), 跟u在longitude方向上的函
数u(0,z) 是identical 的 (需适当变换x或z的坐标单位)。

(b) 对于非线性PDE,在特殊边界条件下会有
∂u(0,z)/∂z = 1/f(u)*∂u(x,0)/∂x 
一般情况下是不等的,i.e.
   h(Δ) ≠ 1/(1+u(Δ,0))*g(Δ)
但是 h(0) = 1/(1+u(0,0))*g(0) 总是成立的.

感谢 TheMatrix. I was more and more clear on this issue only after
discussion with him/her.


【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: PDE
:   ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x
:    ( 原帖: ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u  )
: 在我的初始条件下的解是
:    z = - x(1+u) + u        (1)
: From (1) we have
:    ∂u(x=0,z)/∂z = 1       
:    ∂u(x,z=0)/∂x = (1+u)^2
:      also = 1/(1-x)^2 because u(x,0) = x/(1-x), i.e. 1+u(x,0)=1/(1-x)     
:      (原帖: ∂x(1,u)/∂u = 1/(1+u) - u/(1+u)^2 =1/(1+u)^2)
: ...................


--
※ 修改:·oldwillow 於 Jan  3 04:10:06 2018 修改本文·[FROM: 2a02:c7d:3b94:68]
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单偏微问题,老夫有点困惑
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Jan  2 18:39:20 2018, 美东)

嗯。差不多。(i)的通解我没有仔细验证。
但是对∂z/∂u以及∂x/∂u的解释意思是对的。

偏导数有tricky的地方,主要是符号记法带来的,在金融经济甚至在物理中都有迷惑人
的地方--但是在数学中没有--思考一下有好处,我也有收益,谢谢。

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: 不才试解惑如下。
: (i)  ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x         (4)
:      ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u            (5)
: 是等价的。理由如下。
: Generally, (4) 的通解是
:    z = - x*f + C(u),   where f=(1+u), C(u) is u 的任意函数.
: 可以很容易的验证,这也是(5) 的通解:
:   C' - x*f' = f * (C' - x * f')/f
:  ~~~~~       ~~~~~~~~~~~~
:                            
: ...................






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※ 修改:·TheMatrix 於 Jan  2 18:41:46 2018 修改本文·[FROM: 50.]
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