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一个新型的Volterra 积分方程, 2nd kind
[版面:数学][首篇作者:oldwillow] , 2018年02月07日19:30:06 ,656次阅读,1次回复
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oldwillow
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发信人: oldwillow (老柳树), 信区: Mathematics
标  题: 一个新型的Volterra 积分方程,  2nd kind
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Feb  7 19:30:06 2018, 美东)

这是一个Volterra integral equation, 2nd kind。
众所周知,homogeneous 的, 即
                                    a
                  y(x) =  0 + ∫ K(x,t) y(t) dt 
                                   x                    
只有trivial 解。但 当 a = –∞ 时, 有non-trivial 解。
我现在实际遇到的情形是
                                    1
                  y(x) =  0 + ∫ K(x,t) y(t) dt 
                                   x    
但 x << 1. 这也是有non-trivial 解的。怎么解呢?
我上网搜不到这类问题的研究。大牛们有何想法? 






--
※ 修改:·oldwillow 於 Feb  9 17:00:37 2018 修改本文·[FROM: 86.]
※ 来源:·WWW 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 109.]

 
oldwillow
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发信人: oldwillow (老柳树), 信区: Mathematics
标  题: Re: 一个简单的Volterra 积分方程,  2nd kind
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Feb  9 16:12:28 2018, 美东)

实际上我原是想求解
                                1
                  y(x) =    ∫ K(x/t) * 1/t * y(t) dt     ---   (1)
                               x    (x << 1)
下面是我的初步想法。抛个砖,大牛们上玉。设
    K(x) = 1 + a1*(x-1) + a2*(x-1)^2 + ... + a_m*(x-1)^m
            (即在1点的 Taylor 展开式)
不失一般性, 考虑
          K(x/t) = 1 + a_m * (1 – x/t)^m
原方程为
      1
y = ∫  [1 + a_m * (1 – x/t)^m ]*1/t * y(t) dt
     x
两边对 x 求导得             
                                    1
y' = - 1/x * y(x) + a_m ∫ d/dx (1 – x/t)^m *1/t * y(t) dt
                                  x                    
   = - 1/x * y(x) + a_m ∫ m(1 – x/t)^(m-1) *(-1)/t^2  * y(t) dt  
                                 1
                         (注意到, a_m * (1 – x/x)^m = 0)
二阶导得                                      
                                                   1
y''= {- 1/x * y(x)}' + a_m*m(m-1) ∫ (1 – x/t)^(m-2) *(-1)^2/t^3 * y(t) dt
                                                  x
三阶导得
y^{3} =
                                                      1
{- 1/x * y(x)}'' + a_m*m(m-1)(m-2) ∫ (1 – x/t)^(m-3) *(-1)^3/t^4 y(t)dt
                                                     x
...                         
m 阶导
                                                                       1
y^(m) = {- 1/x * y(x)}^{m-1} + a_m*m(m-1)... ∫ (-1)^m/t^(m+1) * y(t)dt
                                                                      x
m+1 阶导     
y^(m+1) = {- 1/x * y(x)}^{m} - a_m*m(m-1)(m-2)...*1 * (-1)^m/x^(m+1) * y(x) 
i.e.
y^(m+1) - {-1/x * y(x)}^{m}  +  a_m*m(m-1)(m-2)... * (-1)^m/x^(m+1) *y = 0
展开  {- 1/x * y(x)}^{m} 并整理上式得

   ~ x^(m+1)y^{m+1} + ~ x^m* y^{m} + ... + ~ x * y' + ~ y = 0      (2)

这里 ~ 是常数,为看起来简洁起见就不不详写了。可以验证,对一般的K(x/t) , 即
   K(x/t) = 1 +  a_1 * (1 – x/t) + ... + a_m * (1 – x/t)^m
我们仍得到 (2) 的形式, 这是一个标准的 Euler-Cauchy 微分方程,可解。
这样,Euler-Cauchy 常微分方程(2) 的解就是原方程
                                1
                  y(x) =    ∫ K(x/t) * 1/t * y(t) dt     ---   (1)
                               x  
的解。

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: 这是一个Volterra integral equation, 2nd kind
: 众所周知,homogeneous 的, 即
:                                     a
:                   y(x) =  0 + ∫ K(x,t) y(t) dt 
:                                    x                   
: 只有trivial 解。但 当 a = –∞ 时, 有non-trivial 解。
: 我现在实际遇到的情形是
:                                     1
:                   y(x) =  0 + ∫ K(x,t) y(t) dt 
:                                    x    
: ...................
































































--
※ 修改:·oldwillow 於 Feb  9 17:06:45 2018 修改本文·[FROM: 86.]
※ 来源:·WWW 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 195.]

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