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又遇难题了
[版面:数学][首篇作者:oldwillow] , 2018年10月03日11:57:18 ,742次阅读,0次回复
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oldwillow
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发信人: oldwillow (老柳树), 信区: Mathematics
标  题: 又遇难题了
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Oct  3 11:57:18 2018, 美东)

两个多月了也搞不定。给个建议吧。或者指出哪位学者搞这个,都可能帮助很大。

Given 收敛级数 1/1^p + 1/2^p +  ...  + 1/n^p + .... (p>1)
原题中 {1/1^p, 1/2^p, ... 1/N^p} 是一个概率密度, 所以有
   1/1^p + 1/2^p +  ...  + 1/n^p + .... = 1 (容略去某些系数, 为读着容易)
                                               
我想解出 Y(n) 的 asymptotic behavior (e.g., n 在 √N 时的行为),
Y(n) 由下面 recurrence relation 给出

Y(n) = Y(n-1)/1^p + Y(n-2)/2^p +  ... + Y(1)/(n-1)^p + Y(0)/n^p  (*)
       where Y(0) = 1
e.g.
   Y(1) = 1/1^p
   Y(2) = Y(1)/1^p + Y(0)/2^p
         ...
我猜想当 p=3/2时, Y(n)大致可能是 ~1/√n


由 Ranjan K. Mallik (1997)(底下列出) 的工作可以知道 Y(n) 是函数
   f(z) + f^2(z) + .... + f^n(z) + ...  = f(z) / [1-f(z)]
第 n 项的系数, 记为

   Y(n) = [z^n] f(z)/[1-f(z)]

where f(z) = z/1^p + z^2/2^p +  ... + z^n/n^p + ...  (z < 1, f(z) < 1)
但好像也没什么用.

该递推问题也可化成 n 阶矩阵的多次乘积的渐进行为, i.e.

y_n        / 1/1^p  1/2^p             ...  ...  1/n^p \   y_{n-1}
y_{n-1}  |  1         0                   ...   ...       0  |   y_{n-2} 
   .         |   0        1        0                         0  |      .
   .         |   .     .     .                                  .   |      .
   .   =    |                                                      |      .
             |                                       .    .    .    |      .
             |                                       .    .     .   |     y1
y1         \   0               ...      ...     0     1     0 /     y0


i.e.  Y1 = A * Y0 
      Y2 = A*Y1 = A*A * Y0
      ...     
      Yn = A*Y_{n-1} = A^n * Y0

                                                  T
where Yn = (y_n, y_{n-1}, ... y1)
and                        
                                   T
      Y0 = (1, 0, 0, ... 0)

这方面最早 Poincaré (1885)有作 "Sur les équations linéaires
aux différentielles ordinaires et aux différences finies"
American J. of Math., 7, 1885, 203-258

Ranjan K. Mallik (1997) "Solution of linear Difference Equations with
Variable coefficients"
--
※ 修改:·oldwillow 於 Oct  3 18:52:21 2018 修改本文·[FROM: 86.]
※ 来源:·WWW 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 195.]

 
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