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数学不等式求助各位大神!
[版面:数学][首篇作者:liudehua] , 2019年04月14日22:05:44 ,449次阅读,7次回复
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liudehua
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发信人: liudehua (), 信区: Mathematics
标  题: 数学不等式求助各位大神!
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Apr 14 22:05:44 2019, 美东)

epsilon是大于0的实数,
证明附件中的不等式子。

多谢各位大侠!
如果看不到附件:
不等式如下:

-(1+epsilon/2)^2 < (epsilon/2)*ln( (epsilon/4) / (1+epsilon) )
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 数学不等式求助各位大神!
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Apr 14 22:45:03 2019, 美东)

当epsilon趋近于零时,不等式左边趋近于-1,而右边趋近于零(用洛必达法则),所
以左边小于右边,在epsilon足够小时。

【 在 liudehua () 的大作中提到: 】
: epsilon是大于0的实数,
: 证明附件中的不等式子。
: 多谢各位大侠!
: 如果看不到附件:
: 不等式如下:
: -(1+epsilon/2)^2 < (epsilon/2)*ln( (epsilon/4) / (1+epsilon) )




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liudehua
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发信人: liudehua (), 信区: Mathematics
标  题: Re: 数学不等式求助各位大神!
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr 15 02:24:14 2019, 美东)

多谢回答!不过有点疑问啊,ε趋近于0,左边是小于右边。那当ε不是一个趋近与0的
数时,没有证明左边小于右边啊。如何证明。
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 当epsilon趋近于零时,不等式左边趋近于-1,而右边趋近于零(用洛必达法则),所
: 以左边小于右边,在epsilon足够小时。



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TheMatrix
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 数学不等式求助各位大神!
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr 15 07:56:44 2019, 美东)

这是一个标准套路,就说因为左边极限为-1,所以必存在一个delta>0,当任意epsilon
小于delta时,左边小于-0.5,右边极限为0,那么必存在一个gamma>0,当任意epsilon
小于gamma时,右边大于-0.5,取delta和gamma的小者命名为eta,那么当epsilon小于
eta时,左边小于右边。

【 在 liudehua () 的大作中提到: 】
: 多谢回答!不过有点疑问啊,ε趋近于0,左边是小于右边。那当ε不是一个趋近与0的
: 数时,没有证明左边小于右边啊。如何证明。




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mathmitbbs1
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发信人: mathmitbbs1 (bestau), 信区: Mathematics
标  题: Re: 数学不等式求助各位大神!
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr 15 20:17:00 2019, 美东)

这个不需要大虾,学过微积分就可以。
  证明(1+epsilon/2)^2 + (epsilon/2)*ln( (epsilon/4) / (1+epsilon) ) >0。
需要对数的Taylor展式: 对于 0<=x<1,
  (*)  ln(1-x)=-(x+x^2/2+x^3/3+....)>=-(x+x^2+x^3+...)=-x/(1-x).
再把上式展开,应用(*),再适当合并就可以证明了。



【 在 liudehua () 的大作中提到: 】
: epsilon是大于0的实数,
: 证明附件中的不等式子。
: 多谢各位大侠!
: 如果看不到附件:
: 不等式如下:
: -(1+epsilon/2)^2 < (epsilon/2)*ln( (epsilon/4) / (1+epsilon) )


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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 数学不等式求助各位大神!
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr 15 22:19:58 2019, 美东)

嗯。画个图发现epsilon大于0时,左边永远小于右边。
这个应该也不难证明。


【 在 mathmitbbs1 (bestau) 的大作中提到: 】
: 这个不需要大虾,学过微积分就可以。
:   证明(1+epsilon/2)^2 + (epsilon/2)*ln( (epsilon/4) / (1+epsilon) ) >0。
: 需要对数的Taylor展式: 对于 0<=x<1,
:   (*)  ln(1-x)=-(x+x^2/2+x^3/3+....)>=-(x+x^2+x^3+...)=-x/(1-x).
: 再把上式展开,应用(*),再适当合并就可以证明了。




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※ 修改:·TheMatrix 於 Apr 15 22:21:09 2019 修改本文·[FROM: 50.]
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nonpareil
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发信人: nonpareil (一失足成千古恨,再回头已百年身), 信区: Mathematics
标  题: Re: 数学不等式求助各位大神!
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Apr 16 15:40:29 2019, 美东)

就是eps/2 ln(4(1+eps)/eps) <(1+eps/2)^2

ln(4(1+eps)/eps) = ln(4 + 4/eps) = ln 4 + ln(1+ 1/eps) < ln 4 + 1/eps.

eps/2 (ln4 + 1/eps) = eps (ln 4)/2 + 1/2 < 1+eps+ eps^2/4.

【 在 liudehua () 的大作中提到: 】
: epsilon是大于0的实数,
: 证明附件中的不等式子。
: 多谢各位大侠!
: 如果看不到附件:
: 不等式如下:
: -(1+epsilon/2)^2 < (epsilon/2)*ln( (epsilon/4) / (1+epsilon) )



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