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请教一道初中奥数题
[版面:葵花宝典][首篇作者:bitadder] , 2019年10月19日23:30:50 ,471次阅读,5次回复
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bitadder
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发信人: bitadder (bitadder), 信区: Programming
标  题: 请教一道初中奥数题
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Oct 19 23:30:50 2019, 美东)

求所有的正整数对(a,b) 满足
 
a^a+b^b 能被 (ab)^(|a-b|) - 1 整除
 
(1,2)(2,1)肯定是解,但是a和b不是1的时候毫无思路
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minigun
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发信人: minigun (lool), 信区: Programming
标  题: Re: 请教一道初中奥数题
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Oct 24 01:49:18 2019, 美东)

假设a大于b

a^2+b^2 能被 a^2*b-b^2*a - 1 整除
再假设a=b+n带入。从n=1开始,n=2,估计搞几个就找出规律了。
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oOOo
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发信人: oOOo (\_/o!o\_/), 信区: Programming
标  题: Re: 请教一道初中奥数题
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Oct 26 13:46:52 2019, 美东)

先研究一下机偶性,缩小范围

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hamsterdam4
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发信人: hamsterdam4 (蜜桃BB霜), 信区: Programming
标  题: Re: 请教一道初中奥数题
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Oct 27 00:09:54 2019, 美东)

靠,楼上三位都是云计算?

lz出这个我好好算了两个小时,还用code验证了a, b \in {1,...1000}

水平不行没做出来
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thinkingwate
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发信人: thinkingwate (HUYOU), 信区: Programming
标  题: Re: 请教一道初中奥数题
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Oct 27 00:50:15 2019, 美东)






Possible (ab)^(|a-b|) -1 is bigger than a*a+b*b, when |a-b| >2 ? When max(a,
b)
>2

When |a-b| =2, then (ab) ^2 -1 - (a*a+b*b )= (a^2 -1)(b^2-1) -2 ; for a>1, b
>1, (ab)^(|a-b|) is bigger than a*a+b*b; for a=1,b=3, or a=3, b=1, division
not work.

Then |a-b|=1, for example do a=b+1,
Then look (b^2 *2 + 2b+1)/(b^2+b-1)= 2+ 3/(b^2+b-1)
An integer can be divided by 3, it should be 1 or 3.
Then b^2+b-1=1or 3, b must be positive integer, b=1, a=2;
Same thing for a, a=1, then b=2

a can not be equal to b.

(1,2) and (2, 1) are the only answer.

Some idea like this.

【 在 bitadder (bitadder) 的大作中提到: 】
: 求所有的正整数对(a,b) 满足
:  
: a^a+b^b 能被 (ab)^(|a-b|) - 1 整除
:  
: (1,2)(2,1)肯定是解,但是a和b不是1的时候毫无思路










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☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.11
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※ 修改:·thinkingwate 於 Oct 27 15:06:27 2019 修改本文·[FROM: 73.]
※ 来源:·WWW 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 2601:2c7:4580:5]

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